Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Bước 1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Bước 2

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Bước 3

Giả sử $u = - \frac{t}{2}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2} d t$ , nên $- 2 d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - \frac{t}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Bước 3.1.2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{2}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 3.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia $6$ cho $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Bước 3.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Bước 6

Nhân $- 2$ với $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $e^{u}$ tại $- 3$ và tại $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Bước 8.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Bước 9.2

Nhân $- 20$ với $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Bước 9.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Bước 9.3.2

Kết hợp $- 20$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Dạng thập phân:

$19.00425863 \dots$

Bước 11