Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 2

Vì $0.5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $0.5$ ra khỏi tích phân.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Bước 5.5

Nhân $2$ với $9$ .

$u_{upper} = 18$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 6

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $9$ và tại $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Bước 10.2

Tính $- \cos (u)$ tại $18$ và tại $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Bước 10.3

Tính $3 x$ tại $9$ và tại $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.5

Cộng $\frac{81}{2}$ và $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.6

Kết hợp $0.5$ và $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.7

Nhân $0.5$ với $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.8

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Bước 10.4.9

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Bước 10.4.10

Cộng $27$ và $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Bước 10.4.11

Để viết $27$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 10.4.12

Kết hợp $27$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Bước 10.4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Bước 10.4.14

Nhân $27$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Bước 10.4.15

Cộng $40.5$ và $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Bước 11

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Bước 12.2

Nhân $- 1$ với $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Bước 12.3

Cộng $- 0.6603167$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Bước 12.5

Chia $0.33968329$ cho $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Bước 12.6

Chia $94.5$ cho $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Bước 12.7

Cộng $0.16984164$ và $47.25$ .

$47.41984164$