Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{4}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{4} d x$ , nên $4 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Bước 1.3

Chia $0$ cho $4$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại $\ln (16)$ ở dạng $\ln (2^{4})$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

Bước 1.5.2

Khai triển $\ln (2^{4})$ bằng cách di chuyển $4$ ra bên ngoài lôgarit.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Bước 1.5.3.2

Chia $\ln (2)$ cho $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u}$ tại $\ln (2)$ và tại $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$4 (2 - e^{0})$

Bước 5.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 (2 - 1)$

Bước 5.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$4 \cdot 1$

Bước 5.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6