Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{6} \sqrt{2 x + 4} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x + 4$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x + 4$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 4$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x + 4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 6 + 4$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $6$ .

$u_{upper} = 12 + 4$

Bước 1.5.2

Cộng $12$ và $4$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 16$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{16} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{16} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{16}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $16$ và tại $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Bước 6.2.11

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Bước 6.2.13

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 16}{3})$

Bước 6.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 6.2.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{128 - 16}{3}$

Bước 6.2.16

Trừ $16$ khỏi $128$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{112}{3}$

Bước 6.2.17

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{112}{3}$ .

$\frac{112}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.18

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{112}{6}$

Bước 6.2.19

Triệt tiêu thừa số chung của $112$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $112$ .

$\frac{2 (56)}{6}$

Bước 6.2.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.19.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

Bước 6.2.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{56}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{56}{3}$

Dạng thập phân:

$18.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$18 \frac{2}{3}$

Bước 8