Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Bước 1.2

Nhân $- 1$ với $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x - 27$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x - 27$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 27$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Bước 3.1.4

Vì $- 27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 27$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 27$ .

$u_{lower} = 0 - 27$

Bước 3.3

Trừ $27$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 27$ .

$u_{upper} = 3 - 27$

Bước 3.5

Trừ $27$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $- 24$ và tại $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Bước 6

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 24$ và $0$ là $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 27$ và $0$ là $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $24$ .

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Bước 7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Dạng thập phân:

$- 0.23556607 \dots$

Bước 9