Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

Bước 1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = 3^{- x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $3^{- x}$ và $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $3^{- x}$ và $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Bước 5.2

Nhân $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ với $1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Bước 6

Vì $\frac{1}{\ln (3)}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{\ln (3)}$ ra khỏi tích phân.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Bước 7.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

Bước 9

Tích phân của $3^{u}$ đối với $u$ là $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{\ln (3)}$ và $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ tại $3$ và tại $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Bước 11.2

Tính $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ tại $- 3$ và tại $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{27}$ .

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.6

Viết lại $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ ở dạng một tích.

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.7

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.10

Nhân $0$ với $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.11

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.13

Viết lại $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ ở dạng một tích.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.14

Nhân $\frac{1}{27}$ với $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.15

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Bước 11.3.16

Nhân $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ với $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

Bước 11.3.17

Kết hợp.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.18

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.19

Kết hợp $\frac{1}{27 \ln (3)}$ và $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.20

Kết hợp $\frac{27}{27 \ln (3)}$ và $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.21

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.21.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.21.2

Viết lại biểu thức.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.22

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.22.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.22.2

Viết lại biểu thức.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.23

Nhân $- 1$ với $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.24

Kết hợp $\frac{1}{\ln (3)}$ và $- 27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.25

Kết hợp $\frac{- 27}{\ln (3)}$ và $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.26

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.26.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.26.2

Chia $- 27$ cho $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.27

Trừ $27$ khỏi $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Bước 11.3.28

Nâng $\ln (3)$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

Bước 11.3.29

Nâng $\ln (3)$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

Bước 11.3.30

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

Bước 11.3.31

Cộng $1$ và $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 11.3.32

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 11.3.33

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 11.3.34

Nhân $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ với $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia $0$ cho $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 12.2

Cộng $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ và $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 12.4

Nhân $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 12.4.2

Kết hợp $- 10$ và $\frac{1}{9 \ln (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 12.5

Nhân $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Kết hợp $10$ và $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 12.5.2

Nhân $10$ với $26$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 12.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Dạng thập phân:

$6.96711259 \dots$

Bước 14