Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} - 4 x + 3 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Bước 9.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{4}$

Bước 9.3

Tính $3 x$ tại $4$ và tại $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$7 (\frac{64}{3} - 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$7 (\frac{64}{3} + 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.5

Cộng $\frac{64}{3}$ và $0$ .

$7 (\frac{64}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.6

Kết hợp $7$ và $\frac{64}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.7

Nhân $7$ với $64$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.9.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 + 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.13

Cộng $8$ và $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 \cdot 8 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.14

Nhân $- 4$ với $8$ .

$\frac{448}{3} - 32 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.15

Để viết $- 32$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.16

Kết hợp $- 32$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{448 - 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.18.1

Nhân $- 32$ với $3$ .

$\frac{448 - 96}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.18.2

Trừ $96$ khỏi $448$ .

$\frac{352}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.19

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{352}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Bước 9.4.20

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{352}{3} + 12 + 0$

Bước 9.4.21

Cộng $12$ và $0$ .

$\frac{352}{3} + 12$

Bước 9.4.22

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.4.23

Kết hợp $12$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Bước 9.4.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{352 + 12 \cdot 3}{3}$

Bước 9.4.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.25.1

Nhân $12$ với $3$ .

$\frac{352 + 36}{3}$

Bước 9.4.25.2

Cộng $352$ và $36$ .

$\frac{388}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{388}{3}$

Dạng thập phân:

$129.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$129 \frac{1}{3}$

Bước 11