Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} 4 x - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} 4 x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Bước 5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 (8 - \frac{0}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (8 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (8 - 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (8 + 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.6

Cộng $8$ và $0$ .

$4 \cdot 8 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.7

Nhân $4$ với $8$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.8

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.12

Nhân $2$ với $8$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.13

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 8.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 8.2.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.16

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Bước 8.2.3.17

Nhân $2$ với $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 8.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 8.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.18.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 8.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 8.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 8.2.3.18.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - 0)$

Bước 8.2.3.19

Nhân $- 1$ với $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} + 0)$

Bước 8.2.3.20

Cộng $\frac{16}{3}$ và $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3})$

Bước 8.2.3.21

Kết hợp $- 3$ và $\frac{16}{3}$ .

$32 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Bước 8.2.3.22

Nhân $- 3$ với $16$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Bước 8.2.3.23

Triệt tiêu thừa số chung của $- 48$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.23.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Bước 8.2.3.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.23.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Bước 8.2.3.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Bước 8.2.3.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Bước 8.2.3.23.2.4

Chia $- 16$ cho $1$ .

$32 - 16$

Bước 8.2.3.24

Trừ $16$ khỏi $32$ .

$16$

Bước 9