Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Bước 1

Giả sử $y = 5 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d y = 5 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $5 \cos (t)$ dương.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $25$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $25 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $5$ với $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $25$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $25$ ra khỏi tích phân.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 9.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Bước 9.5

Nhân $2$ với $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Bước 9.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Bước 9.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $t$ tại $0.92729521$ và tại $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Bước 13.2

Tính $\sin (u)$ tại $1.85459043$ và tại $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

Bước 13.3

Cộng $0.92729521$ và $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

Bước 14.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

Bước 14.3

Cộng $\sin (1.85459043)$ và $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

Bước 14.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

Bước 14.5

Cộng $0.92729521$ và $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

Bước 14.6

Kết hợp $\frac{25}{2}$ và $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

Bước 14.7

Nhân $25$ với $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

Bước 15

Chia $35.18238045$ cho $2$ .

$17.59119022$

Bước 16