Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2 π} 8 \cos (2 t) d t$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) d t$

Bước 2

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Bước 2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{0}^{4 π})$

Bước 7

Tính $\sin (u)$ tại $4 π$ và tại $0$ .

$4 (\sin (4 π) - \sin (0))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 (\sin (4 π) - 0)$

Bước 8.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (\sin (4 π) + 0)$

Bước 8.3

Cộng $\sin (4 π)$ và $0$ .

$4 \sin (4 π)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$4 \sin (0)$

Bước 9.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0$

Bước 9.3

Nhân $4$ với $0$ .

$0$