Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 5.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1 - 1}{3}$

Bước 5.2.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- \frac{0}{3}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{3 (0)}{3}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{0}{1}$

Bước 5.2.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 0$

Bước 5.2.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$