Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Bước 5.5

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $x$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Bước 9.2

Tính $\sin (u)$ tại $4 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Bước 9.3

Cộng $2 π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Bước 10.3

Cộng $\sin (4 π)$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

Bước 11.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

Bước 11.1.2

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

Bước 11.2

Cộng $2 π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 (π))$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 π)$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$π$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$π$

Dạng thập phân:

$3.14159265 \dots$