Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Bước 1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $18$ ra khỏi tích phân.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x + 1$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$u_{upper} = 7$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{5}$ và $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{u^{6}}{6}$ tại $7$ và tại $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Bước 8.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Bước 8.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Bước 8.2.4

Trừ $1$ khỏi $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Bước 8.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $117648$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.5.1

Đưa $6$ ra ngoài $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Bước 8.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.5.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Bước 8.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Bước 8.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (\frac{19608}{1})$

Bước 8.2.5.2.4

Chia $19608$ cho $1$ .

$6 \cdot 19608$

Bước 8.2.6

Nhân $6$ với $19608$ .

$117648$

Bước 9