Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y$

Bước 1

Giả sử $u = 2 y^{2} - 3$ . Sau đó $d u = 4 y d y$ , nên $\frac{1}{4} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 y^{2} - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2} - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{2} - 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 y + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $y$ là $0$ .

$4 y + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4 y$ và $0$ .

$4 y$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 3$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{lower} = 2 - 3$

Bước 1.3.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0^{2} - 3$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0 - 3$

Bước 1.5.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{upper} = 0 - 3$

Bước 1.5.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$u_{upper} = - 3$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 3$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{- 3} u^{5} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{5}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{- 3} \frac{u^{5}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{- 3} u^{5} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{- 1}^{- 3}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{6} u^{6}$ tại $- 3$ và tại $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {(- 3)}^{6}) - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $729$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Bước 5.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{243}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $\frac{243}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Bước 5.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Nhân $243$ với $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Bước 5.2.9.2

Trừ $1$ khỏi $729$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{728}{6}$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $728$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $728$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Bước 5.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Bước 5.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Bước 5.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{364}{3}$

Bước 5.2.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{4 \cdot 3}$

Bước 5.2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{364}{12}$

Bước 5.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $364$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $364$ .

$\frac{4 (91)}{12}$

Bước 5.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Bước 5.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Bước 5.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{91}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{91}{3}$

Dạng thập phân:

$30.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$30 \frac{1}{3}$

Bước 7