Giải tích Ví dụ

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 3

Giả sử $u = π x$ . Sau đó $d u = π d x$ , nên $\frac{1}{π} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = π x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Bước 3.3

Nhân $π$ với $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Bước 3.5

Nhân $π$ với $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 4

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Bước 8

Nhân $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $12$ với $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Bước 11

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 12$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Bước 15

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính $\sin (u)$ tại $1.57079632$ và tại $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Bước 15.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $0.5$ và tại $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Bước 15.3

Tính $3 x$ tại $0.5$ và tại $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.2

Nâng $- 0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.5

Nhân $\frac{0.125}{3}$ với $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.7

Cộng $0.125$ và $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.8

Kết hợp $- 12$ và $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.9

Nhân $- 12$ với $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.10.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.11

Nhân $3$ với $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Bước 15.4.12

Nhân $- 3$ với $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Bước 15.4.13

Cộng $1.5$ và $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Bước 15.4.14

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Bước 16.1.2

Kết hợp $\frac{4}{π}$ và $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Bước 16.1.3

Kết hợp $\frac{4}{π}$ và $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Bước 16.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.4.1

Tính $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Bước 16.1.4.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Bước 16.1.4.3

Tính $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Bước 16.1.4.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Bước 16.1.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Bước 16.1.4.6

Nhân $- - \frac{4}{π}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.4.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Bước 16.1.4.6.2

Nhân $\frac{4}{π}$ với $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Bước 16.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Bước 16.1.6

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Bước 16.2

Cộng $\frac{8}{π}$ và $2$ .

$4.54647908$