Giải tích Ví dụ

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

Bước 1.3

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Bước 1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\cot (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cot (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

Bước 5

Tính $\ln (| \sin (u) |)$ tại $1$ và tại $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Dạng thập phân:

$- 0.65541022 \dots$