Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Bước 7.1.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{1}{6} u^{6}$ tại $\sqrt{2}$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Bước 7.2.2

Tính $- \frac{1}{2 u^{2}}$ tại $\sqrt{2}$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{6}$ ở dạng $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.7

Để viết $\frac{4}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.8.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.10.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.10.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.12

Nhân $4$ với $6$ .

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.13.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.13.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.13.5

Tính số mũ.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.14

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 7.2.3.15

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Bước 7.2.3.16

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 7.2.3.17

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Bước 7.2.3.18

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.18.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Bước 7.2.3.18.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Bước 7.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

Bước 7.2.3.20

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

Bước 7.2.3.21

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 7.2.3.22

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $24$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.22.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

Bước 7.2.3.22.2

Nhân $4$ với $6$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

Bước 7.2.3.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 - 6}{24}$

Bước 7.2.3.24

Trừ $6$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{24}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{24}$

Dạng thập phân:

$0.041\overline{6}$

Bước 9