Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Bước 1

Viết lại $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ ở dạng $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Bước 2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 3

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 3.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $4$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Bước 3.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Bước 3.5.3

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 6.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Bước 6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 6.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 6.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 6.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Bước 6.2.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$3 (8 - 0)$

Bước 6.2.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 (8 + 0)$

Bước 6.2.6

Cộng $8$ và $0$ .

$3 \cdot 8$

Bước 6.2.7

Nhân $3$ với $8$ .

$24$