Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Bước 1.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{2} u d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 3.2.5

Nhân $0$ với $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.6

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Bước 3.2.7

Cộng $2$ và $0$ .

$2$