Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Bước 5

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $x$ tại $π$ và tại $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Bước 6.1.2

Tính $x \sin (x)$ tại $π$ và tại $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Bước 6.1.3

Tính $- \cos (x)$ tại $π$ và tại $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Cộng $π$ và $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Bước 6.1.4.2

Nhân $0$ với $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Bước 6.1.4.3

Cộng $π \sin (π)$ và $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Bước 6.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Bước 6.3.3

Nhân $π$ với $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Bước 6.3.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Bước 6.3.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Bước 6.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Bước 6.3.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Bước 6.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Bước 6.3.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$π - (0 - 2)$

Bước 6.3.10

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$π - - 2$

Bước 6.3.11

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$π + 2$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$π + 2$

Dạng thập phân:

$5.14159265 \dots$