Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} 2 \cos (2 x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 5.3

Nhân $\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$ với $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\sin (u)]_{0}^{2 π}$

Bước 7

Tính $\sin (u)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$\sin (2 π) - \sin (0)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\sin (2 π) - 0$

Bước 8.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sin (2 π) + 0$

Bước 8.3

Cộng $\sin (2 π)$ và $0$ .

$\sin (2 π)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\sin (0)$

Bước 9.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0$