Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Bước 2

Giả sử $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Sau đó $d u = 4 \sin (t) d t$ , nên $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 4 \cos (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Bước 2.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $5$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 4 \cos (t)$ đối với $t$ là $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Bước 2.3.2

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Bước 2.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Bước 2.5.1.3.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Bước 2.5.2

Cộng $5$ và $4$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{\frac{1}{4}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{4}}$ đối với $u$ là $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Bước 8.2

Kết hợp.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Bước 8.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{5}$ vào tử số.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Bước 8.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 8.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Bước 8.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Bước 8.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Bước 8.5.4

Chia $9^{\frac{5}{4}}$ cho $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Dạng thập phân:

$14.58845726 \dots$