Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} {(5 x - 7)}^{8} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 5 x - 7$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 x - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 7]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$5 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $5$ và $0$ .

$5$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 5 x - 7$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 1 - 7$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$u_{lower} = 5 - 7$

Bước 1.3.2

Trừ $7$ khỏi $5$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 5 x - 7$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 2 - 7$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $5$ với $2$ .

$u_{upper} = 10 - 7$

Bước 1.5.2

Trừ $7$ khỏi $10$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 2}^{3} u^{8} \frac{1}{5} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{8}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{3} \frac{u^{8}}{5} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int_{- 2}^{3} u^{8} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{8}$ đối với $u$ là $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{9} u^{9}]_{- 2}^{3}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{9} u^{9}$ tại $3$ và tại $- 2$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{9} \cdot 3^{9}) - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $9$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{9} \cdot 19683 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $19683$ .

$\frac{1}{5} (\frac{19683}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $19683$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $19683$ .

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 (1)} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 \cdot 1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} (\frac{2187}{1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.3.2.4

Chia $2187$ cho $1$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Bước 5.2.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $9$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} \cdot - 512)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 512$ với $- 1$ .

$\frac{1}{5} (2187 + 512 (\frac{1}{9}))$

Bước 5.2.6

Kết hợp $512$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 + \frac{512}{9})$

Bước 5.2.7

Để viết $2187$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 \cdot \frac{9}{9} + \frac{512}{9})$

Bước 5.2.8

Kết hợp $2187$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2187 \cdot 9}{9} + \frac{512}{9})$

Bước 5.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2187 \cdot 9 + 512}{9}$

Bước 5.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Nhân $2187$ với $9$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{19683 + 512}{9}$

Bước 5.2.10.2

Cộng $19683$ và $512$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20195}{9}$

Bước 5.2.11

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{20195}{9}$ .

$\frac{20195}{5 \cdot 9}$

Bước 5.2.12

Nhân $5$ với $9$ .

$\frac{20195}{45}$

Bước 5.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $20195$ và $45$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.1

Đưa $5$ ra ngoài $20195$ .

$\frac{5 (4039)}{45}$

Bước 5.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $45$ .

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Bước 5.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Bước 5.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4039}{9}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4039}{9}$

Dạng thập phân:

$448.\overline{7}$

Dạng hỗn số:

$448 \frac{7}{9}$

Bước 7