Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} + 3 x^{2} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Bước 2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $1$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$8 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.4

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$8 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.7.1

Nhân $4$ với $4$ .

$8 \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.7.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$8 (\frac{15}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.8

Kết hợp $8$ và $\frac{15}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.9

Nhân $8$ với $15$ .

$\frac{120}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $120$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $120$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4 (1)} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 30}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{30}{1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.10.2.4

Chia $30$ cho $1$ .

$30 + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 7.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$30 + 3 \frac{8 - 1}{3}$

Bước 7.2.3.14

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$30 + 3 (\frac{7}{3})$

Bước 7.2.3.15

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{3}$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Bước 7.2.3.16

Nhân $3$ với $7$ .

$30 + \frac{21}{3}$

Bước 7.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.17.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Bước 7.2.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.17.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)}$

Bước 7.2.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}$

Bước 7.2.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 + \frac{7}{1}$

Bước 7.2.3.17.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$30 + 7$

Bước 7.2.3.18

Cộng $30$ và $7$ .

$37$

Bước 8