Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} + 3 x d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 2

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 3.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$10 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 \int_{1}^{3} x d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $- \frac{1}{2 x^{2}}$ tại $3$ và tại $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$10 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.2

Nhân $2$ với $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.5

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.6.2

Nhân $2$ với $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$10 \frac{- 1 + 9}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.8

Cộng $- 1$ và $9$ .

$10 (\frac{8}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$10 \frac{2 (4)}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$10 (\frac{4}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.10

Kết hợp $10$ và $\frac{4}{9}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.11

Nhân $10$ với $4$ .

$\frac{40}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 8.2.3.13

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 8.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{9 - 1}{2}$

Bước 8.2.3.15

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{8}{2})$

Bước 8.2.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Bước 8.2.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Bước 8.2.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 8.2.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{4}{1})$

Bước 8.2.3.16.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{40}{9} + 3 \cdot 4$

Bước 8.2.3.17

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{40}{9} + 12$

Bước 8.2.3.18

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + 12 \cdot \frac{9}{9}$

Bước 8.2.3.19

Kết hợp $12$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + \frac{12 \cdot 9}{9}$

Bước 8.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{40 + 12 \cdot 9}{9}$

Bước 8.2.3.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.21.1

Nhân $12$ với $9$ .

$\frac{40 + 108}{9}$

Bước 8.2.3.21.2

Cộng $40$ và $108$ .

$\frac{148}{9}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{148}{9}$

Dạng thập phân:

$16.\overline{4}$

Dạng hỗn số:

$16 \frac{4}{9}$

Bước 10