Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Bước 2

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{5}$ đối với $y$ là $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Bước 5

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $y^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 3}$ đối với $y$ là $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{6} y^{6}$ tại $3$ và tại $1$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Bước 8.2

Tính $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ tại $3$ và tại $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $729$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.6

Để viết $\frac{243}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Nhân $\frac{243}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Nhân $243$ với $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.9.2

Trừ $1$ khỏi $729$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $728$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $728$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.11

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.12

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.13

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.14

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.15

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.16

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Bước 8.3.17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Bước 8.3.18

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Bước 8.3.19

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Bước 8.3.20

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.20.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Bước 8.3.20.2

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Bước 8.3.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Bước 8.3.22

Cộng $- 1$ và $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

Bước 8.3.23

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.23.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Bước 8.3.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.23.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 8.3.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 8.3.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

Bước 8.3.24

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{1}{12}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

Bước 8.3.25

Nhân $9$ với $12$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

Bước 8.3.26

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $108$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.26.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

Bước 8.3.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.26.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $108$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Bước 8.3.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Bước 8.3.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

Bước 8.3.27

Để viết $\frac{364}{15}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

Bước 8.3.28

Để viết $- \frac{1}{27}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.29

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $135$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.29.1

Nhân $\frac{364}{15}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.29.2

Nhân $15$ với $9$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.29.3

Nhân $\frac{1}{27}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

Bước 8.3.29.4

Nhân $27$ với $5$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

Bước 8.3.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

Bước 8.3.31

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.31.1

Nhân $364$ với $9$ .

$\frac{3276 - 5}{135}$

Bước 8.3.31.2

Trừ $5$ khỏi $3276$ .

$\frac{3271}{135}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3271}{135}$

Dạng thập phân:

$24.2\overline{296}$

Dạng hỗn số:

$24 \frac{31}{135}$

Bước 10