Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} x^{2} - 4 x + 5 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Bước 3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 x]_{1}^{3}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ và $5 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ tại $3$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.4

Nhân $5$ với $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.5

Cộng $9$ và $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.7

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.8

Nhân $5$ với $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.9

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.10

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.12.1

Nhân $5$ với $3$ .

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.12.2

Cộng $1$ và $15$ .

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.13

Để viết $24$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.14

Kết hợp $24$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.16.1

Nhân $24$ với $3$ .

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.16.2

Trừ $16$ khỏi $72$ .

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.17

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 7.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Bước 7.2.3.20

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

Bước 7.2.3.21

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.21.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Bước 7.2.3.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.21.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Bước 7.2.3.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 7.2.3.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

Bước 7.2.3.21.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

Bước 7.2.3.22

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\frac{56}{3} - 16$

Bước 7.2.3.23

Để viết $- 16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.3.24

Kết hợp $- 16$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.26.1

Nhân $- 16$ với $3$ .

$\frac{56 - 48}{3}$

Bước 7.2.3.26.2

Trừ $48$ khỏi $56$ .

$\frac{8}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{3}$

Dạng thập phân:

$2.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{2}{3}$

Bước 9