Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} y \sin (x y) d x$

Bước 1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y$ ra khỏi tích phân.

$y \int_{1}^{2} \sin (x y) d x$

Bước 2

Giả sử $u = x y$ . Sau đó $d u = y d x$ , nên $\frac{1}{y} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x y$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $y$ với $1$ .

$y$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x y$ .

$u_{lower} = 1 y$

Bước 2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$u_{lower} = y$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x y$ .

$u_{upper} = 2 y$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = y$

$u_{upper} = 2 y$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$y \int_{y}^{2 y} \sin (u) \frac{1}{y} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{y}$ .

$y \int_{y}^{2 y} \frac{\sin (u)}{y} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{y}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{y}$ ra khỏi tích phân.

$y (\frac{1}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y$ .

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Bước 5.3

Nhân $\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$ với $1$ .

$\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{y}^{2 y}$

Bước 7

Tính $- \cos (u)$ tại $2 y$ và tại $y$ .

$- \cos (2 y) + \cos (y)$