Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 5.3

Nhân $\int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{5}$

Bước 7

Tính $\ln (| u |)$ tại $5$ và tại $2$ .

$\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)$

Bước 8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 5 |}{| 2 |})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\ln (\frac{5}{| 2 |})$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{5}{2})$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{5}{2})$

Dạng thập phân:

$0.91629073 \dots$

Bước 11