Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $C$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

Bước 1.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $y (y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.6.2

Chia $4 y^{2} - 7 y - 12$ cho $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.1.2

Chia $A ((y + 2) (y - 3))$ cho $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.2

Khai triển $(y + 2) (y - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.3.1.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.3.1.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.3.2

Cộng $- 3 y$ và $2 y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.5.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.6

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.6.2

Chia $(B) (y (y - 3))$ cho $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.8

Nhân $y$ với $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.9

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.11

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.12

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Bước 1.1.7.12.2

Chia $(C) (y (y + 2))$ cho $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

Bước 1.1.7.13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Bước 1.1.7.14

Nhân $y$ với $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Bước 1.1.7.15

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Bước 1.1.7.16

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Bước 1.1.7.17

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Bước 1.1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Di chuyển $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Bước 1.1.8.2

Sắp xếp lại $B$ và $y^{2}$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Bước 1.1.8.3

Di chuyển $B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

Bước 1.1.8.4

Di chuyển $- 6 A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

Bước 1.1.8.5

Di chuyển $- 3 y B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Bước 1.1.8.6

Di chuyển $- y A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $y^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$4 = A + B + C$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $y$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $y$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 12 = - 6 A$

Bước 1.2.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giải tìm $A$ trong $- 12 = - 6 A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 6 A = - 12$ .

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- 6 A = - 12$ cho $- 6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 6 A = - 12$ cho $- 6$ .

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.1.2.2.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.3.1

Chia $- 12$ cho $- 6$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $2$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $4 = A + B + C$ bằng $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ bằng $2$ .

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Bước 1.3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Bước 1.3.3

Giải tìm $B$ trong $4 = 2 + B + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Bước 1.3.3.2.2

Trừ $C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Bước 1.3.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Bước 1.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $2 - C$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ bằng $2 - C$ .

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Rút gọn $- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.4.2.1.1.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.4.2.1.1.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.4.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.2.1

Trừ $6$ khỏi $- 2$ .

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.4.2.1.2.2

Cộng $3 C$ và $2 C$ .

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5

Giải tìm $C$ trong $- 7 = - 8 + 5 C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 8 + 5 C = - 7$ .

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5.2.2

Cộng $- 7$ và $8$ .

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $5 C = 1$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $5 C = 1$ cho $5$ .

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.5.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Bước 1.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ bằng $\frac{1}{5}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ trong $B = 2 - C$ bằng $\frac{1}{5}$ .

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1

Rút gọn $2 - (\frac{1}{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.6.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{5}$ .

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.6.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.6.2.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.6.2.1.4.2

Trừ $1$ khỏi $10$ .

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Bước 1.3.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{9}{5}$ với $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Bước 1.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Bước 1.5.4

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 5

Vì $\frac{9}{5}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{9}{5}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = y + 2$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 6.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u_{1} = y + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Bước 6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u_{1} = y + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Bước 6.5

Cộng $2$ và $2$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Bước 8

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = y - 3$ . Sau đó $d u_{2} = d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = y - 3$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Bước 9.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 9.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 9.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u_{2} = y - 3$ .

$u_{lower} = 1 - 3$

Bước 9.3

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u_{2} = y - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Bước 9.5

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 9.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Bước 9.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\ln (| y |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Bước 11.2

Tính $\ln (| u_{1} |)$ tại $4$ và tại $3$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Bước 11.3

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Bước 11.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Bước 12.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{9}{5}$ và $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Bước 12.4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Bước 12.5

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.3

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.5

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.6

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 1$ và $0$ là $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

Bước 13.7

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 2$ và $0$ là $2$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Dạng thập phân:

$1.76549265 \dots$

Bước 15