Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

Bước 1

Vì $p$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $p$ ra khỏi tích phân.

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln^{2} (x)$ và $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Bước 3.2.2

Chia $\ln (x^{2})$ cho $1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

Bước 4

Viết lại $\ln (x^{2})$ ở dạng $2 \ln (x)$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

Bước 6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\ln^{2} (x) x$ tại $3$ và tại $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Bước 10.2

Tính $\ln (x) x$ tại $3$ và tại $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

Bước 10.3

Tính $x$ tại $3$ và tại $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln^{2} (3)$ .

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Bước 10.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Bước 10.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Bước 10.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

Bước 10.4.5

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

Bước 10.4.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Bước 11.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Bước 11.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Bước 11.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

Bước 11.1.4.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

Bước 11.1.5

Cộng $3 \ln (3)$ và $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

Bước 11.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

Bước 11.1.7

Nhân $3$ với $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

Bước 11.1.8

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

Bước 11.2

Cộng $3 \ln^{2} (3)$ và $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

Bước 11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

Bước 11.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $p$ .

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

Bước 11.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $p$ .

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$