Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (r)$ và $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Bước 3.2

Kết hợp $\ln (r)$ và $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Bước 3.4

Nhân $\frac{r^{4}}{4}$ với $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $r^{4}$ và $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $r$ ra ngoài $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $r$ ra ngoài $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{3}$ đối với $r$ là $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ và $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ tại $3$ và tại $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Bước 6.2.2

Tính $\frac{r^{4}}{4}$ tại $3$ và tại $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.2

Di chuyển $81$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.4

Nhân $\ln (1)$ với $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.8

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Bước 6.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.9.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Bước 6.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Bước 6.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Bước 6.2.3.9.2.4

Chia $20$ cho $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Bước 6.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Bước 6.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Bước 6.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Bước 6.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Bước 6.2.3.10.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Bước 6.2.3.11

Nhân $- 1$ với $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Bước 7.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Bước 7.3

Cộng $81 \ln (3)$ và $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Bước 7.5

Nhân $9$ với $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Bước 7.6

Nhân $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Kết hợp $9$ và $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Bước 7.6.2

Nhân $81$ với $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Dạng thập phân:

$155.22208960 \dots$