Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 2^{1}$

Bước 2.5.4

Tính số mũ.

$u_{upper} = 2$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} 2 \cos (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{2} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u)]_{1}^{2})$

Bước 5

Tính $\sin (u)$ tại $2$ và tại $1$ .

$2 (\sin (2) - \sin (1))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $\sin (2)$ .

$2 (0.90929742 - \sin (1))$

Bước 6.1.2

Tính $\sin (1)$ .

$2 (0.90929742 - 1 \cdot 0.84147098)$

Bước 6.1.3

Nhân $- 1$ với $0.84147098$ .

$2 (0.90929742 - 0.84147098)$

Bước 6.2

Trừ $0.84147098$ khỏi $0.90929742$ .

$2 \cdot 0.06782644$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $0.06782644$ .

$0.13565288$