Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \frac{8 \ln^{3} (x)}{x} d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 2.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 \int_{0}^{\ln (4)} u^{3} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$8 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{4}}{4}$ tại $\ln (4)$ và tại $0$ .

$8 ((\frac{\ln^{4} (4)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{4})$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{1})$

Bước 5.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} + 0)$

Bước 5.2.4

Cộng $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ và $0$ .

$8 \frac{\ln^{4} (4)}{4}$

Bước 5.2.5

Kết hợp $8$ và $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ .

$\frac{8 \ln^{4} (4)}{4}$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 \ln^{4} (4)$ .

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4}$

Bước 5.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 (1)}$

Bước 5.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \ln^{4} (4)}{1}$

Bước 5.2.6.2.4

Chia $2 \ln^{4} (4)$ cho $1$ .

$2 \ln^{4} (4)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln^{4} (4)$

Dạng thập phân:

$7.38672315 \dots$