Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} {(3 x + 2)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x + 2$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x + 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 + 2$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$u_{lower} = 3 + 2$

Bước 1.3.2

Cộng $3$ và $2$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x + 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 2$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $3$ với $4$ .

$u_{upper} = 12 + 2$

Bước 1.5.2

Cộng $12$ và $2$ .

$u_{upper} = 14$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 14$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{5}^{14} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{5}^{14} \frac{u^{2}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{5}^{14} u^{2} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{5}^{14}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $14$ và tại $5$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $14$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2744$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Bước 5.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 125)$

Bước 5.2.4

Nhân $125$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - 125 (\frac{1}{3}))$

Bước 5.2.5

Kết hợp $- 125$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} + \frac{- 125}{3})$

Bước 5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{125}{3})$

Bước 5.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2744 - 125}{3}$

Bước 5.2.8

Trừ $125$ khỏi $2744$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2619}{3}$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $2619$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $2619$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3}$

Bước 5.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 (1)}$

Bước 5.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{873}{1}$

Bước 5.2.9.2.4

Chia $873$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 873$

Bước 5.2.10

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $873$ .

$\frac{873}{3}$

Bước 5.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $873$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $873$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3}$

Bước 5.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3 (1)}$

Bước 5.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 291}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{291}{1}$

Bước 5.2.11.2.4

Chia $291$ cho $1$ .

$291$

Bước 6