Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} {(x^{2} + 2)}^{3} x d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 2$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 2$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 2$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 4 + 2$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $2$ .

$u_{lower} = 6$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 2$ .

$u_{upper} = 4^{2} + 2$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 16 + 2$

Bước 1.5.2

Cộng $16$ và $2$ .

$u_{upper} = 18$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 18$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{6}^{18} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{18} \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{18} u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{6}^{18}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $18$ và tại $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 18^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $18$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 104976 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{104976}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $104976$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{26244}{1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.3.2.4

Chia $26244$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Bước 5.2.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 1296)$

Bước 5.2.5

Nhân $1296$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 1296 (\frac{1}{4}))$

Bước 5.2.6

Kết hợp $- 1296$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 1296}{4})$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1296$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 1296$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4})$

Bước 5.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 (1)})$

Bước 5.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 \cdot 1})$

Bước 5.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 324}{1})$

Bước 5.2.7.2.4

Chia $- 324$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 324)$

Bước 5.2.8

Trừ $324$ khỏi $26244$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25920$

Bước 5.2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $25920$ .

$\frac{25920}{2}$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $25920$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $25920$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2}$

Bước 5.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2 (1)}$

Bước 5.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12960}{1}$

Bước 5.2.10.2.4

Chia $12960$ cho $1$ .

$12960$

Bước 6