Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $2 t$ tại $5$ và tại $2$ .

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{t^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Bước 8.2.3

Tính $\frac{t^{3}}{3}$ tại $5$ và tại $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.3

Trừ $4$ khỏi $10$ .

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.6.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.8

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.9

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.11.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.11.2

Trừ $4$ khỏi $25$ .

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.12

Kết hợp $2$ và $\frac{21}{2}$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.13

Nhân $2$ với $21$ .

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $42$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.14.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.15

Cộng $6$ và $21$ .

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.16

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Bước 8.2.4.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Bước 8.2.4.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

Bước 8.2.4.19

Trừ $8$ khỏi $125$ .

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

Bước 8.2.4.20

Triệt tiêu thừa số chung của $117$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.20.1

Đưa $3$ ra ngoài $117$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

Bước 8.2.4.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.20.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

Bước 8.2.4.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

Bước 8.2.4.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

Bước 8.2.4.20.2.4

Chia $39$ cho $1$ .

$27 + 3 \cdot 39$

Bước 8.2.4.21

Nhân $3$ với $39$ .

$27 + 117$

Bước 8.2.4.22

Cộng $27$ và $117$ .

$144$

Bước 9