Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} \sqrt{8 x - 16} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 8 x - 16$ . Sau đó $d u = 8 d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 8 x - 16$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $8 x - 16$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 16]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$8 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $8$ và $0$ .

$8$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 8 x - 16$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 2 - 16$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $8$ với $2$ .

$u_{lower} = 16 - 16$

Bước 1.3.2

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 8 x - 16$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 4 - 16$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $8$ với $4$ .

$u_{upper} = 32 - 16$

Bước 1.5.2

Trừ $16$ khỏi $32$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{16} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{8}$ .

$\int_{0}^{16} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{16} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $16$ và tại $0$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $64$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 6.2.11

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} + 0)$

Bước 6.2.13

Cộng $\frac{128}{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{128}{3}$

Bước 6.2.14

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{128}{3}$ .

$\frac{128}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.15

Nhân $8$ với $3$ .

$\frac{128}{24}$

Bước 6.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $128$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Đưa $8$ ra ngoài $128$ .

$\frac{8 (16)}{24}$

Bước 6.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$\frac{8 \cdot 16}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 \cdot 16}{8 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{16}{3}$

Dạng thập phân:

$5.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$5 \frac{1}{3}$

Bước 8