Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{2} 3 + \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{2} 3 d x + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.6

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 4.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 4.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - π$

Bước 11.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 11.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 11.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 11.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Bước 11.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 12

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Bước 16

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $3 x$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Bước 16.2

Tính $t$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Bước 16.3

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $- π$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $3$ với $2$ .

$6 - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.2

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$6 + 6 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.3

Cộng $6$ và $6$ .

$12 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 + 2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.5

Cộng $π$ và $π$ .

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Bước 16.4.6.2

Chia $π$ cho $1$ .

$12 + 2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$12 + 2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$12 + 2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Bước 17.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Bước 17.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Bước 17.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Bước 17.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Bước 17.1.6

Cộng $0$ và $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0}{2})$

Bước 17.2

Chia $0$ cho $2$ .

$12 + 2 (π + 0)$

Bước 18

Cộng $π$ và $0$ .

$12 + 2 π$

Bước 19

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$12 + 2 π$

Dạng thập phân:

$18.28318530 \dots$

Bước 20