Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - 0.4 x$ . Sau đó $d u = - 0.4 d x$ , nên $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - 0.4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 0.4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.4 x$ đối với $x$ là $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 0.4$ với $1$ .

$- 0.4$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Bước 4.3

Nhân $- 0.4$ với $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Bước 4.5

Nhân $- 0.4$ với $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{0.4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.4}$ ra khỏi tích phân.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{0.4}$ và $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Bước 9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $x$ tại $3$ và tại $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Bước 11.2

Tính $e^{u}$ tại $- 1.2$ và tại $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Bước 11.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chia $2$ cho $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Bước 12.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Bước 12.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Bước 12.1.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Bước 12.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Bước 12.2.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Bước 12.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Bước 12.2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Bước 12.2.5

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Dạng thập phân:

$1.74067376 \dots$

Bước 14