Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 2

Vì $0.1$ không đổi đối với $a$ , hãy di chuyển $0.1$ ra khỏi tích phân.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 3

Giả sử $u = - 0.1 a$ . Sau đó $d u = - 0.1 d a$ , nên $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - 0.1 a$ . Tìm $\frac{d u}{d a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Bước 3.1.2

Vì $- 0.1$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $- 0.1 a$ đối với $a$ là $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 0.1$ với $1$ .

$- 0.1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $a$ trong $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Bước 3.3

Nhân $- 0.1$ với $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $a$ trong $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Bước 3.5

Nhân $- 0.1$ với $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 7

Vì $\frac{1}{0.1}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.1}$ ra khỏi tích phân.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{0.1}$ và $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 0.1$ và $0.1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $- 0.1$ ở dạng $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 8.2.3

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $a$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{a}$ đối với $a$ là $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $e^{u}$ tại $- 0.3$ và tại $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Bước 12.2

Tính $\ln (| a |)$ tại $3$ và tại $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Bước 12.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Bước 13

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 14.3

Nhân $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 14.3.2

Nhân $\frac{1}{e^{0.2}}$ với $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 14.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Bước 14.5

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Bước 14.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Dạng thập phân:

$0.88884274 \dots$

Bước 16