Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Bước 2

Nhân $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Bước 3

Nhân $u^{2}$ với $u^{- 3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Bước 3.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Bước 7.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Bước 8

Tích phân của $u^{- 1}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính $- \frac{1}{2 u^{2}}$ tại $3$ và tại $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Bước 9.1.2

Tính $\ln (| u |)$ tại $3$ và tại $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.2

Nhân $2$ với $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.4

Nhân $2$ với $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.5

Để viết $- \frac{1}{18}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.6

Để viết $\frac{1}{8}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $72$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.7.1

Nhân $\frac{1}{18}$ với $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.7.2

Nhân $18$ với $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.7.3

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.7.4

Nhân $8$ với $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.9

Cộng $- 4$ và $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.11

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.1.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Bước 9.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Bước 9.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Dạng thập phân:

$0.54435399 \dots$

Bước 11