Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{1} (5 - x^{2}) - (x + 3) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{1} 5 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Bước 6

Nhân $- (x + 3)$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 1 \cdot 3 d x$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $3$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 3 d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $5 x]_{- 2}^{1}$ và $- 3 x]_{- 2}^{1}$ .

$5 x - 3 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Bước 13.1.2

Trừ $3 x$ khỏi $5 x$ .

$2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Bước 13.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $2 x$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Bước 13.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Bước 13.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.3

Cộng $2$ và $4$ .

$6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.8

Nhân $\frac{8}{3}$ với $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 - \frac{1 + 8}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.10

Cộng $1$ và $8$ .

$6 - \frac{9}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 - \frac{3}{1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$6 - 1 \cdot 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.12

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 - 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.13

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.15

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

Bước 13.2.4.16

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Bước 13.2.4.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Bước 13.2.4.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Bước 13.2.4.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

Bước 13.2.4.16.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

Bước 13.2.4.17

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2)$

Bước 13.2.4.18

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 13.2.4.19

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Bước 13.2.4.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Bước 13.2.4.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.21.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$3 - \frac{1 - 4}{2}$

Bước 13.2.4.21.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$3 - \frac{- 3}{2}$

Bước 13.2.4.22

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 - - \frac{3}{2}$

Bước 13.2.4.23

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 + 1 (\frac{3}{2})$

Bước 13.2.4.24

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$3 + \frac{3}{2}$

Bước 13.2.4.25

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 13.2.4.26

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 13.2.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \cdot 2 + 3}{2}$

Bước 13.2.4.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.28.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Bước 13.2.4.28.2

Cộng $6$ và $3$ .

$\frac{9}{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{9}{2}$

Dạng thập phân:

$4.5$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{1}{2}$

Bước 15