Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Bước 2

Vì $7$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{4}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 3}$ đối với $y$ là $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $y^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Bước 7.1.2

Di chuyển $y^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{y^{4}}{4}$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Bước 7.2.2

Tính $- \frac{1}{2 y^{2}}$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.5

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.6

Kết hợp $- 4$ và $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.8.2

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.10

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.11

Kết hợp $- 7$ và $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.12

Nhân $- 7$ với $15$ .

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.14

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.15

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Bước 7.2.3.16

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Bước 7.2.3.17

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Bước 7.2.3.18

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Bước 7.2.3.19

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.19.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Bước 7.2.3.19.2

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Bước 7.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

Bước 7.2.3.21

Cộng $- 4$ và $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

Bước 7.2.3.22

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

Bước 7.2.3.23

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

Bước 7.2.3.24

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Bước 7.2.3.25

Nhân $- 4$ với $3$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

Bước 7.2.3.26

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.26.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 12$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Bước 7.2.3.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.26.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

Bước 7.2.3.27

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

Bước 7.2.3.28

Để viết $- \frac{3}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 7.2.3.29

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.29.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.29.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Bước 7.2.3.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

Bước 7.2.3.31

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.31.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{- 105 - 6}{4}$

Bước 7.2.3.31.2

Trừ $6$ khỏi $- 105$ .

$\frac{- 111}{4}$

Bước 7.2.3.32

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{111}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{111}{4}$

Dạng thập phân:

$- 27.75$

Dạng hỗn số:

$- 27 \frac{3}{4}$

Bước 9