Giải tích Ví dụ

$\int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 1

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 3 t^{2} - 1$ . Sau đó $d u = 6 t d t$ , nên $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 t^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{2} - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{2}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$6 t + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $6 t$ và $0$ .

$6 t$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $12$ .

$\frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int u^{3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + C$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + C$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Bước 7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Bước 7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} u^{4} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C$