Giải tích Ví dụ

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Bước 1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $6$ ở dạng $4$ cộng $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\sec (x)}^{4 + 2}$ ở dạng $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 2.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 2.4

Viết lại ${\sec (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Bước 5

Khai triển $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(1 + u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.8

Di chuyển $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.9

Sắp xếp lại $u^{4}$ và $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.10

Sắp xếp lại $u^{2}$ và $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.11

Sắp xếp lại $u^{4}$ và $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.12

Nhân $1$ với $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.13

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.14

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.16

Cộng $4$ và $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.17

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.19

Cộng $4$ và $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Bước 5.21

Cộng $4$ và $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Bước 5.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Bước 5.23

Cộng $6$ và $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Bước 5.24

Cộng $u^{6}$ và $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Bước 5.25

Sắp xếp lại $2 u^{6}$ và $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Bước 5.26

Di chuyển $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{8}$ đối với $u$ là $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 11.1.2

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 11.1.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Bước 11.2

Rút gọn.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$