Giải tích Ví dụ

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Bước 1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Sau đó $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Bước 2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ ở dạng $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ .

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$