Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Bước 1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Bước 3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 6.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Bước 6.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\ln (| x |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Bước 9.2

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 9.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 9.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 9.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Bước 9.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Bước 9.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Bước 9.3.5

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Bước 10

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Bước 11.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Bước 11.3

Chia $e$ cho $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Bước 12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 1}{2}$

Bước 12.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$