Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Bước 1

Viết lại $\ln (x^{2})$ ở dạng $2 \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\ln (x) x$ tại $e$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Bước 6.2

Tính $x$ tại $e$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 7.1.2

Nhân $e$ với $1$ .

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Bước 7.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$2 (e - 0 - (e - 1))$

Bước 7.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (e + 0 - (e - 1))$

Bước 7.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (e + 0 - e - - 1)$

Bước 7.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (e + 0 - e + 1)$

Bước 7.2

Cộng $e$ và $0$ .

$2 (e - e + 1)$

Bước 7.3

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$2 (0 + 1)$

Bước 7.4

Cộng $0$ và $1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2$