Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 9$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.1.4

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Bước 1.3

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Bước 1.5

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ tại $0$ và tại $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.5

Nhân $\frac{3}{2}$ với $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.6

Viết lại $- 8$ ở dạng ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 4.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Bước 4.2.9

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Bước 4.2.10

Nhân $4$ với $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Bước 4.2.11

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Bước 4.2.12

Nhân $- 4$ với $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Bước 4.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Bước 4.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Bước 4.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Bước 4.2.13.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$0 - 6$

Bước 4.2.14

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$- 6$

Bước 5